当监理单位已经下发停工令，但施工单位仍然继续施工时，这是一个需要严肃处理的问题，因为它可能涉及到工程安全、质量以及合规性等多个重要方面。以下是我为您提供的详细处理步骤和建议：

一、立即确认停工令的执行情况

1. 核实停工令内容：首先，确保您下发的停工令内容明确、具体，包括停工的原因、范围、期限等关键信息。
2. 确认施工单位接收情况：检查施工单位是否已经正式接收并确认了停工令，这可以通过书面回执、签字确认等方式进行。

二、与施工单位进行紧急沟通

1. 召开紧急会议：立即与施工单位的主要负责人召开紧急会议，明确指出继续施工的严重性和可能带来的后果。
2. 了解原因：询问施工单位继续施工的具体原因，是否是因为对停工令的理解有误，还是存在其他紧急情况需要处理。

三、采取进一步措施

1. 书面警告：如果口头沟通无效，应立即向施工单位发出书面警告，明确指出其违反停工令的行为，并要求其立即停止施工。
2. 报告相关部门：将施工单位违反停工令的情况及时报告给建设单位、质监站或其他相关监管部门，请求他们介入处理。
3. 考虑法律手段：如果施工单位仍然无视警告，继续施工，监理单位可以考虑采取法律手段，如向法院申请强制执行停工令，或追究施工单位的法律责任。

四、加强现场监督

1. 增加监督人员：在停工期间，增加现场监督人员，确保施工单位没有偷偷进行施工。
2. 定期巡查：定期对施工现场进行巡查，及时发现并制止任何违规施工行为。

五、记录与报告

1. 详细记录：对施工单位违反停工令的行为进行详细记录，包括时间、地点、违规行为的具体情况等。
2. 定期报告：将上述情况定期报告给建设单位和相关监管部门，以便他们及时了解情况并采取相应措施。

六、后续处理与预防

1. 分析原因：在事件处理完毕后，分析施工单位违反停工令的原因，是否是因为监理单位的工作存在疏漏或不足。
2. 完善制度：根据分析结果，完善监理单位的停工令下发和执行制度，确保类似事件不再发生。
3. 加强培训：对监理人员进行相关培训，提高他们的法律意识和业务能力，确保他们能够正确、有效地执行停工令。

综上所述，当监理单位下发停工令后施工单位依旧施工时，监理单位应立即采取行动，通过沟通、警告、报告相关部门、加强现场监督等措施来确保停工令的有效执行。同时，也应加强后续处理和预防工作，以避免类似事件的再次发生。