结论：当月入职并离职，当月发放工资的情况下，雇佣信息是否可以当月修改需分情况讨论。

1. 雇佣信息修改的合法性基础
   根据《劳动合同法》及《个人信息保护法》，用人单位对劳动者信息的修改需满足两个条件：
   

• 必要性：修改内容需与劳动关系直接相关（如岗位、薪资、合同期限等）；
  
• 合法性：修改程序需符合法律规定（如双方协商一致、书面确认等）。
  若当月入职后立即离职，用人单位仍需在劳动关系存续期间（即当月内）确保雇佣信息的真实性和合法性，但修改需以实际劳动关系变化为依据。

1. 当月入职并离职的特殊情形
   

• 劳动关系存续时间短：若劳动者当月入职后迅速离职（如试用期内），用人单位需在工资发放时同步更新雇佣信息（如离职日期、实际工作天数等），但不得虚构或篡改与劳动关系无关的信息（如学历、工作经历等）。
  
• 工资发放与信息修改的关联性：当月发放工资时，用人单位需在工资条或系统中准确记录劳动者的实际出勤、薪资标准及离职状态。若需修改合同条款（如薪资结构），需与劳动者重新协商并书面确认，否则可能构成未及时足额支付劳动报酬的违法情形。

1. 实务操作建议
   

• 书面记录优先：无论劳动关系存续时间多短，用人单位均应通过书面形式（如离职协议、工资确认单）固定雇佣信息的变化，避免口头约定引发的纠纷。
  
• 合规修改流程：若需修改劳动合同核心条款（如岗位、薪资），应遵循《劳动合同法》第三十五条规定的“协商一致+书面变更”程序，即使劳动关系仅存续当月，亦不得省略法定步骤。
  
• 数据保护义务：根据《个人信息保护法》，用人单位修改劳动者信息时需确保数据安全，不得泄露或非法使用劳动者个人信息。

总结：当月入职并离职的情况下，雇佣信息可以当月修改，但修改内容必须与实际劳动关系变化一致，且需通过合法程序（如协商、书面确认）完成。若涉及工资发放，用人单位需确保信息修改不损害劳动者合法权益（如克扣工资、虚假记录）。如有具体操作疑问，可直接向我咨询。