结论前置：债务人死亡且没有遗产时，其子女通常不需要承担债务的偿还责任，但若债务属于家庭共同债务、子女对债务提供了担保或债务属于夫妻共同债务，则子女或配偶可能需要承担相应责任。
一、债务随遗产灭失，子女无法定偿还义务
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。若债务人死亡且没有留下任何遗产，其生前所负债务将随着遗产的灭失而自然消失。在此情况下，子女作为独立的民事主体，并未继承父母的遗产，因此无需承担父母债务的法定偿还责任。
二、特殊情况下的责任承担
家庭共同债务：
- 若债务是家庭共同生活所负，如用于家庭共同经营或生活开支，即使债务人死亡且无遗产，其子女作为家庭成员可能仍需承担偿还责任。这是因为家庭共同债务涉及家庭成员的共同利益，子女作为家庭成员之一，可能因享受债务带来的利益而需承担相应责任。
子女提供担保：
- 若子女对债务人的债务提供了保证、抵押等担保方式，在债务人死亡无法偿还债务时，子女作为担保人需按照担保合同的约定承担相应的担保责任。这是因为担保合同是子女与债权人之间的法律约定，子女需按照约定履行担保义务。
夫妻共同债务：
- 如果债务属于夫妻共同债务，即债务用于夫妻共同生活或基于夫妻双方共同意思表示所负，那么即使一方死亡且没有遗产，另一方（即配偶）仍有义务偿还这笔债务。这是因为夫妻共同债务涉及夫妻双方的共同利益，配偶作为共同债务人之一，需承担偿还责任。
三、实际操作建议
债权人：
- 在债务人死亡且无遗产的情况下，债权人应及时了解债务人的家庭情况，判断是否存在家庭共同债务、子女提供担保或夫妻共同债务等特殊情形。若存在这些情形，债权人可依法向相关责任人主张权利。
债务人的子女：
- 债务人的子女应了解相关法律规定，明确自己在债务偿还中的责任和义务。若不存在家庭共同债务、子女提供担保或夫妻共同债务等特殊情形，子女无需承担债务的偿还责任。同时，子女也应积极配合债权人的调查工作，提供必要的证据和信息。
配偶：
- 若债务属于夫妻共同债务，配偶应主动承担偿还责任。若对债务性质存在争议，配偶可依法向法院提起诉讼，请求确认债务性质并划分偿还责任。
在实际操作中，处理此类问题时需综合考虑具体情况和法律规定。若您对此类问题存在疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。