在进赌场赌钱被警察抓捕时逃跑摔死的情况下，赔偿问题需视警察的执法行为是否合法合规来具体判断。以下从不同角度进行分析：
一、警察执法行为合法合规的情况
无需承担赔偿责任：
- 如果警察在抓赌过程中严格依照法律规定和程序进行执法，没有过度使用暴力或采取不恰当的方式驱赶逃跑者，那么对于逃跑者因自身行为（如慌不择路、意外摔倒等）导致的伤亡结果，警察通常无需承担赔偿责任。
- 逃跑者作为成年人，应当预见自己逃跑行为可能带来的风险，并自行承担相应后果。
可能涉及的救助义务：
- 尽管警察无需对逃跑者的伤亡承担赔偿责任，但根据人道主义原则和执法规范，警察在发现逃跑者受伤后，应及时实施救助，如呼叫救护车、进行初步急救等。
二、警察执法行为存在过错的情况
需承担赔偿责任：
- 如果警察在抓赌过程中存在违法违规行为，如过度使用暴力、违反法定程序等，且该行为与逃跑者的伤亡有直接因果关系，那么警察或其所属单位可能需要承担相应的赔偿责任。
- 赔偿范围通常包括死亡赔偿金、丧葬费等，以弥补受害者及其家属的损失。
可能涉及的刑事责任：
- 如果警察的违法行为构成犯罪，如过失致人死亡罪等，那么相关警察还可能面临刑事责任的追究。
三、具体案例分析
- 假设在抓赌行动中，参赌人员小李因逃跑而意外摔倒死亡。如果经调查证实，警察在抓赌过程中没有过度使用暴力或采取不恰当的方式驱赶小李，且小李的死亡是由于自身慌不择路导致的意外，那么警察通常无需承担赔偿责任。
- 反之，如果经调查证实，警察在抓赌过程中存在恶意推搡小李等违法行为，且该行为与小李的死亡有直接因果关系，那么警察或其所属单位可能需要承担相应的赔偿责任，甚至可能面临刑事责任的追究。
四、建议与注意事项
对于受害者家属：
- 如果认为警察在抓赌过程中存在过错，应及时收集相关证据，如现场监控视频、目击者证言等，以便在后续的法律程序中维护自己的权益。
- 可以考虑通过法律途径（如提起民事诉讼或刑事附带民事诉讼）来寻求赔偿。
对于警察：
- 在执法过程中应严格遵守法律规定和程序要求，避免过度使用暴力或采取不恰当的方式驱赶逃跑者。
- 如果发现逃跑者受伤或存在其他紧急情况，应及时实施救助并报告上级部门。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况提供专业的法律意见和帮助。