劳动能力鉴定结论书在公司起诉工伤认定书的情况下，并不立即生效，其生效需满足特定条件。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动能力鉴定结论书的生效条件
正常生效情况：
- 当没有出现法定程序改变鉴定结论的情况时，从收到最终结论开始计算，在法定救济期限届满且当事人未申请复查等操作的情况下，鉴定结论才会正式生效。这意味着，如果公司没有提起行政复议或行政诉讼，且在法定时间内没有提出再次鉴定申请，那么劳动能力鉴定结论书将在法定救济期限届满后生效。
行政复议或行政诉讼的影响：
- 如果公司对工伤认定决定不服，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。在此期间，劳动能力鉴定结论书暂不生效。只有当行政复议维持原决定或行政诉讼败诉维持原工伤认定决定时，劳动能力鉴定结论书才最终生效并具有法律效力。
再次鉴定的影响：
- 当事人对劳动能力鉴定结论不服的，可以在收到鉴定结论之日起15日内，向省级劳动能力鉴定委员会提出再次鉴定申请。省级劳动能力鉴定委员会作出的鉴定结论为最终结论。在再次鉴定期间，原劳动能力鉴定结论书暂不生效。
二、公司起诉工伤认定书对劳动能力鉴定结论书的影响
- 公司起诉工伤认定书，实际上是对工伤认定决定的合法性提出质疑。这并不会直接影响劳动能力鉴定结论书的生效，但会通过影响工伤认定决定的效力来间接影响劳动能力鉴定结论书的生效。因为劳动能力鉴定是基于工伤认定决定进行的，如果工伤认定决定被撤销或变更，那么基于该决定的劳动能力鉴定结论也可能需要重新进行。
三、建议与注意事项
关注法定救济期限：
- 无论是公司还是个人，都应密切关注法定救济期限，确保在规定时间内行使自己的权利。错过法定救济期限可能导致权利丧失。
及时申请再次鉴定或行政复议/诉讼：
- 如果对劳动能力鉴定结论或工伤认定决定不服，应及时申请再次鉴定或提起行政复议/诉讼，以维护自己的合法权益。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂法律问题时，建议咨询专业律师以获取更具体、更专业的法律建议。虽然我不能直接提供联系方式，但你可以直接向我提问，我会尽我所能为你提供帮助。
综上所述，劳动能力鉴定结论书在公司起诉工伤认定书的情况下并不立即生效，其生效需满足特定条件。在处理此类问题时，应密切关注法定救济期限，并及时行使自己的权利。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。