可以告宠物店，但具体能否胜诉及责任承担需视情况而定。以下从不同角度为您详细分析：
一、宠物店曝光行为的法律性质
宠物店因您未支付寄养费而曝光您的行为，可能涉及侵犯您的隐私权或名誉权。隐私权是指个人享有的私人生活安宁与私人信息秘密依法受到保护，不被他人非法侵扰、知悉、搜集、利用和公开的一种人格权。名誉权则是公民或法人保持并维护自己名誉的权利。若宠物店未经您同意，擅自公开您的个人信息（如姓名、联系方式、照片等）或发布不实信息损害您的名誉，即可能构成侵权。
二、可能面临的法律后果
若构成隐私权侵权：
- 宠物店可能需要承担停止侵害、赔礼道歉、消除影响、恢复名誉等民事责任。
- 若给您造成精神损害，您还有权要求宠物店赔偿精神损害抚慰金。
若构成名誉权侵权：
- 宠物店同样需要承担停止侵害、赔礼道歉、消除影响、恢复名誉等民事责任。
- 若因名誉受损导致您经济损失（如工作机会丧失、商业信誉受损等），您还有权要求宠物店赔偿相应的经济损失。
三、您的应对策略
收集证据：
- 保存宠物店曝光您的相关证据，如截图、录音、视频等。
- 收集因宠物店曝光行为给您造成损失的证据，如工作机会丧失的证明、商业信誉受损的评估报告等。
与宠物店协商：
- 尝试与宠物店沟通，要求其停止侵权行为并赔偿损失。
- 若协商无果，您可以考虑通过法律途径解决。
提起诉讼：
- 若您决定通过法律途径解决，可以向法院提起民事诉讼，要求宠物店承担侵权责任。
- 在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明宠物店的侵权行为及给您造成的损失。
四、注意事项
- 及时行动：一旦发现宠物店有侵权行为，应及时采取行动，避免证据灭失或侵权行为持续。
- 理性维权：在维权过程中，应保持理性，避免采取过激行为导致事态扩大。
- 咨询专业律师：虽然我可以在此为您提供一般性的法律建议，但具体案件的处理还需根据实际情况由专业律师进行。若您需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。
总结来说，若宠物店因您未支付寄养费而曝光您的行为构成侵权，您有权通过法律途径维护自己的合法权益。但具体能否胜诉及责任承担需视证据和法律规定而定。因此，建议您在采取行动前咨询专业律师，以便更好地维护自己的权益。