业主在小区公共绿地私自种香椿树是违反相关法律法规和小区管理规定的行为，应当立即停止并恢复原状。以下是对此问题的详细分析：

1. 法律法规角度：

   • 根据《物权法》及相关法律法规，小区公共绿地属于全体业主共有，单个业主无权私自占用或改变其用途。
   • 私自种植树木可能侵犯其他业主的合法权益，如影响小区景观、妨碍他人通行或造成安全隐患等。

2. 小区管理规定角度：

   • 大多数小区都有明确的管理规定，禁止业主在公共区域私自种植植物或搭建构筑物。
   • 业主应当遵守小区管理规定，维护小区的整体环境和秩序。

3. 处理建议：

   • 首先，业主应当自觉停止私自种植香椿树的行为，并主动恢复原状，即移除已种植的树木并恢复绿地原貌。
   • 如果业主拒不配合，小区物业或业主委员会可以依据小区管理规定采取相应措施，如发出整改通知、罚款或向相关部门举报等。
   • 在处理过程中，应当注意保持沟通，避免引发不必要的纠纷。如果双方无法协商解决，可以通过法律途径解决争议。

综上所述，业主在小区公共绿地私自种香椿树是违法的，应当立即停止并恢复原状。如果遇到困难或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。