结论：物业是否可以砍伐居民私自在小区种植的香椿树，需视具体情况而定，不能一概而论。以下从多个角度进行分析：

1. 树木所有权与物业权限：

   • 若香椿树种植在居民私有部分：如居民自家阳台、庭院等私有空间内，且未对公共区域造成影响，那么树木的所有权归居民所有。在此情况下，物业通常无权擅自砍伐，除非得到居民的明确同意或存在紧急情况（如树木危及公共安全）。
   • 若香椿树种植在公共区域：如小区绿化带、道路旁等公共空间，且未经物业或相关管理部门同意，那么居民的行为可能构成擅自占用公共空间。在此情况下，物业有权要求居民移除或砍伐树木，但应遵循合法程序，如先通知居民并给予合理期限自行处理，若居民未处理，物业可依法采取措施。

2. 物业砍伐的合法性与程序：

   • 合法性：物业在砍伐树木前，应确保其行为符合相关法律法规和小区管理规定。若未经合法程序擅自砍伐，可能构成违法行为，需承担相应法律责任。
   • 程序：物业在砍伐树木前，通常应先通知居民，并说明砍伐的原因、时间和方式等。若居民对砍伐有异议，物业应与居民协商解决。在协商无果的情况下，物业可寻求法律途径解决，如向法院申请强制执行等。

3. 居民权益保护：

   • 知情权：居民有权知道物业砍伐树木的原因、时间和方式等，以便做出合理应对。
   • 申诉权：若居民认为物业的砍伐行为侵犯了其合法权益，如树木具有特殊意义或价值等，居民有权向物业提出申诉或向相关部门投诉。

4. 特殊情况处理：

   • 紧急情况：如树木存在倒塌风险、危及公共安全等紧急情况，物业可立即采取砍伐等必要措施，但应及时通知居民并说明情况。
   • 协商解决：在非紧急情况下，物业应与居民充分协商，寻求双方都能接受的解决方案。

建议：

• 对于居民而言，在种植树木前应了解小区管理规定和相关法律法规，确保种植行为合法合规。若对物业的砍伐行为有异议，应及时与物业沟通并寻求法律途径解决。
• 对于物业而言，在砍伐树木前应确保行为合法合规，并遵循合法程序。同时，应加强与居民的沟通与协商，共同维护小区的和谐与稳定。

若您在房产纠纷或物业纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。