事业单位人事代理无固定期限合同员工，一般情况下不会被随意开除，但特定情形下仍可能面临解雇风险。以下是对此问题的详细分析：
一、无固定期限合同的基本性质
无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。这种合同形式旨在为劳动者提供更为稳定的就业环境，减少因合同到期而导致的失业风险。对于事业单位人事代理的无固定期限合同员工而言，他们同样享有这种稳定性。
二、解雇的法定条件
尽管无固定期限合同为员工提供了相对稳定的就业环境，但并不意味着员工可以高枕无忧。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在以下情形下可以解除劳动合同：
严重违反用人单位的规章制度：如果员工严重违反了事业单位的规章制度，且这些规章制度是合法、合理并经过公示的，那么事业单位有权解除劳动合同。
严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害：员工在工作过程中如果存在严重失职或营私舞弊的行为，并且这些行为给事业单位造成了重大损害，那么事业单位同样有权解除劳动合同。
被依法追究刑事责任：如果员工因犯罪行为被依法追究刑事责任，那么事业单位有权解除与其签订的劳动合同。
三、解雇的程序要求
除了满足上述法定条件外，事业单位在解除劳动合同时还需要遵循一定的程序要求。这包括但不限于：
事先通知：事业单位在解除劳动合同时，通常需要事先通知员工，并说明解除的理由。
听取员工意见：在可能的情况下，事业单位应当听取员工的意见，并给予其申辩的机会。
出具解除证明：解除劳动合同后，事业单位需要为员工出具解除劳动合同的证明，并办理相关手续。
四、特殊情况下的解雇风险
除了上述法定解雇条件外，还有一些特殊情况可能导致无固定期限合同员工面临解雇风险。例如：
事业单位改革或调整：如果事业单位因改革或调整需要裁减人员，那么无固定期限合同员工也可能面临被解雇的风险。但这种情况下，事业单位需要遵循相关的法律法规和程序要求。
员工不胜任工作：如果员工因不胜任工作而经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任工作的，事业单位在提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，可以解除劳动合同。
五、建议与措施
对于事业单位人事代理的无固定期限合同员工而言，为了降低被解雇的风险，可以采取以下措施：
严格遵守规章制度：员工应严格遵守事业单位的规章制度，避免因违规行为而面临解雇风险。
提升工作能力：员工应不断提升自己的工作能力和业务水平，以胜任工作岗位的要求。
关注法律法规变化：员工应关注相关法律法规的变化，了解自己的权益和义务，以便在必要时维护自己的合法权益。
如有任何关于劳动仲裁或劳动法的疑问，都可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供更为详细和专业的法律建议。