核心结论：用人单位快倒闭不续签合同却继续用工，劳动者可主张的赔偿或权益主要包括经济补偿金、未签书面合同的双倍工资差额，以及可能存在的违法解除赔偿金（若后续用人单位违法解除劳动关系）。以下分情况详细说明：

1. 经济补偿金

• 法律依据：根据《劳动合同法》第四十四条、第四十六条，用人单位被依法宣告破产导致劳动合同终止的，或用人单位决定提前解散导致劳动合同终止的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
• 计算方式：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
• 应用场景：若用人单位明确表示因倒闭不续签合同，但继续用工一段时间后正式终止劳动关系，劳动者有权要求支付至终止时的经济补偿金。

2. 未签书面合同的双倍工资差额

• 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
• 计算方式：从用工满一个月的次日起至补订书面劳动合同前一日，或直至劳动关系终止（以较早者为准），按劳动者应得工资计算双倍工资差额。
• 应用场景：若用人单位未续签书面合同却继续用工，劳动者可主张自合同到期次日起至实际终止日（或补签日）的双倍工资差额。

3. 违法解除赔偿金（若存在）

• 法律依据：根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
• 应用场景：若用人单位在未续签合同且继续用工期间，无正当理由突然解除劳动关系（如未提前通知、未支付经济补偿等），可能构成违法解除，劳动者可主张赔偿金。

4. 其他权益

• 工资支付：用人单位应继续支付继续用工期间的工资，不得拖欠。
• 社保缴纳：用人单位应继续为劳动者缴纳社会保险至劳动关系终止。
• 工作交接与证明：劳动关系终止时，用人单位应为劳动者出具终止劳动关系的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。

建议行动：

1. 收集证据：保留劳动合同、工资条、考勤记录、继续用工的证明（如工作安排、邮件等）、用人单位倒闭或解散的相关通知等。
2. 协商解决：与用人单位协商经济补偿、双倍工资等事宜，争取达成书面协议。
3. 申请劳动仲裁：若协商无果，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张上述权益。
4. 诉讼途径：对仲裁结果不服的，可依法向人民法院提起诉讼。

温馨提示：劳动争议案件具有时效性，劳动者应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内申请劳动仲裁。如有具体疑问或需要进一步帮助，可直接向我咨询。