派遣员工被辞退时，解除劳动关系证明应由派遣公司出具。以下是详细的分析和解释：

1. 法律关系分析：

   • 在劳务派遣关系中，派遣员工与派遣公司签订劳动合同，建立劳动关系；而派遣员工则被派遣至用人单位工作，与用人单位形成用工关系。
   • 因此，当派遣员工被辞退时，涉及的是其与派遣公司之间的劳动关系解除，而非与用人单位之间的用工关系解除。

2. 解除劳动关系证明的出具主体：

   • 根据上述法律关系分析，解除劳动关系证明应由与派遣员工建立劳动关系的派遣公司出具。
   • 派遣公司作为用人单位（在劳动关系意义上），有义务在解除与派遣员工的劳动关系时，出具相应的解除劳动关系证明。

3. 用人单位的角色与责任：

   • 用人单位在劳务派遣关系中主要负责派遣员工的工作安排和管理，但并不直接与派遣员工建立劳动关系。
   • 因此，用人单位没有义务出具解除劳动关系证明，但可以配合派遣公司完成相关手续，如提供辞退原因等必要信息。

4. 法律后果与建议：

   • 如果派遣公司未出具解除劳动关系证明，可能导致派遣员工在后续求职或享受相关待遇时遇到困难。
   • 建议派遣员工在被辞退时，及时要求派遣公司出具解除劳动关系证明，并保留好相关证据以备不时之需。
   • 如果派遣公司拒绝出具或拖延出具，派遣员工可以向劳动监察部门投诉或寻求法律援助。

综上所述，派遣员工被辞退时，解除劳动关系证明应由派遣公司出具。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。