行政复议支持后，一般情况下是可以提起行政诉讼的，但也存在例外情况。以下是对这一问题的详细分析：
可以提起行政诉讼的情况：
- 对复议决定不服：根据《中华人民共和国行政复议法》及《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或其他组织对行政复议机关作出的复议决定不服的，可以在法定期限内向人民法院提起行政诉讼。例如，若复议机关维持了原行政行为，而申请人认为该复议决定或原行政行为存在错误，便有权在收到复议决定书之日起十五日内向有管辖权的人民法院提起诉讼。
- 复议机关逾期不作决定：若复议机关在法定期限内未作出复议决定，申请人同样可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼，以确保其合法权益得到及时有效的救济。
不可以提起行政诉讼的情况：
- 法律规定行政复议决定为最终裁决：尽管在大多数情况下，当事人对行政复议决定不服的可以提起行政诉讼，但也存在一些特殊情形。特别是当法律规定行政复议决定为最终裁决时，当事人便不能再提起行政诉讼。例如，《中华人民共和国出入境管理法》中规定，某些行政复议决定为最终决定，当事人对此不服的，无法再提起行政诉讼。
提起行政诉讼的法定条件：
- 在提起行政诉讼时，当事人需满足一定的法定条件，包括但不限于：必须是具体的行政行为相对人；有明确的被告；有具体的诉讼请求和事实依据；符合人民法院的管辖范围；在法定的起诉期限内提起诉讼。
法律建议：
- 在面临行政争议时，当事人应首先了解相关法律法规的具体规定，特别是关于行政复议和行政诉讼的程序、期限及条件等方面的内容。
- 若当事人对行政复议决定不服，且符合提起行政诉讼的条件，应及时在法定期限内向有管辖权的人民法院提起诉讼，以维护自身合法权益。
- 若存在法律规定行政复议决定为最终裁决的情形，当事人应接受该决定，并考虑通过其他合法途径解决争议。
总结：
行政复议支持后，当事人是否可以提起行政诉讼需根据具体情况而定。在大多数情况下，当事人对行政复议决定不服的，有权在法定期限内向人民法院提起行政诉讼。然而，也存在一些特殊情形，如行政复议决定被法律规定为最终裁决时，当事人便失去了提起行政诉讼的权利。因此，在行使权利前，当事人应仔细了解相关法律法规的具体规定，以确保自身权益得到有效维护。如有任何法律问题，欢迎直接向我咨询。