针对您提出的问题“正常人殴打精神病人导致精神病人打死他人，怎么承担法律责任”，这是一个涉及多方面法律责任的复杂情况。以下是我为您提供的清晰、详细、有深度的解答：
一、法律责任概述
首先，需要明确的是，正常人殴打精神病人这一行为本身，就是违反道德和伦理的，同时也可能触犯法律，需要承担相应的法律责任。当这一行为导致精神病人打死他人时，法律责任的承担将更为复杂，涉及民事责任、行政责任乃至刑事责任。
二、民事责任
对精神病人的赔偿：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
- 在此情况下，打人者（即正常人）需对精神病人因被打而遭受的人身损害进行赔偿。若精神病人因被打导致病情加重，产生的额外治疗费用等也应由打人者承担。
对被打死者的赔偿：
- 由于精神病人的行为是在被打后发生的，且可能因被打而失去控制能力，导致打死他人，因此打人者也可能需要对被打死者的家属进行一定的民事赔偿。这通常涉及死亡赔偿金、丧葬费、被扶养人生活费等。但具体赔偿金额和责任划分需根据法院判决确定。
三、行政责任
- 依据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，将面临拘留和罚款的处罚。
- 由于精神病人属于弱势群体，正常人殴打精神病人可能会被认定为情节较重，从而面临更严厉的治安处罚。
四、刑事责任
对打人者的刑事责任：
- 如果打人者殴打精神病人造成的伤害达到轻伤以上程度，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，将构成故意伤害罪，可能面临有期徒刑、拘役或者管制的刑罚。
- 若打人者的行为导致精神病人打死他人，且该行为与打死他人的结果之间存在因果关系，打人者还可能因过失致人死亡罪而承担刑事责任。具体刑罚将根据案件的严重程度和法院的判决来确定。
对精神病人的刑事责任：
- 值得注意的是，如果精神病人是在发病期间对他人造成了伤害，并且无法辨认或控制自己的行为，那么他们可能不需要承担刑事责任。但这并不意味着他们可以随意伤害他人而不受任何约束。在这种情况下，为了保护社会和他人的安全，可能会采取其他措施，如强制医疗等。
五、特殊情况的考虑与建议
监护人责任：
- 若精神病人有法定监护人，且监护人未尽到监护职责，导致精神病人打死他人，监护人也可能需要承担一定的法律责任。
法律咨询与帮助：
- 鉴于此类案件的复杂性和严重性，建议立即咨询专业的法律人士以获取准确的法律意见和帮助。
社会关爱与保护：
- 社会各界也应加强对精神病人的关爱和保护，确保他们能够在一个安全、和谐的环境中生活，减少类似悲剧的发生。
综上所述，正常人殴打精神病人导致精神病人打死他人的情况涉及多方面的法律责任。打人者可能需要承担民事责任、行政责任乃至刑事责任。具体责任划分和刑罚将根据案件的严重程度和法院的判决来确定。