针对事业单位在职职工身故应该由哪个部门负责的问题，以下是我的详细解答：

1. 一般情况下的负责部门：

   • 在事业单位中，职工身故（无论是因病还是因工伤）的后续处理，通常首先会由单位的人事部门或人力资源部门介入。这些部门负责处理与职工相关的各类事务，包括但不限于工资结算、社保处理、以及可能的抚恤金或丧葬补助的发放等。
   • 如果职工身故与工伤有关，那么还需要涉及工伤保险的相关部门。在事业单位中，这通常也是由人事或人力资源部门与工伤保险经办机构（如社保局）共同处理。工伤保险经办机构会负责审核工伤认定申请，并根据相关规定发放工伤保险待遇。

2. 特殊情况下的负责部门：

   • 如果职工身故涉及刑事案件或意外事故，那么公安机关或相关安全监管部门可能会介入调查。在这种情况下，事业单位的人事或人力资源部门需要与这些部门保持沟通，并配合进行相关处理。
   • 对于因公殉职或具有特殊贡献的职工，单位可能会设立专门的委员会或工作小组来处理后续事宜，包括但不限于抚恤金的发放、家属的慰问等。

3. 法律建议：

   • 对于事业单位在职职工身故的情况，家属或单位应首先与单位的人事或人力资源部门取得联系，了解后续处理流程和所需材料。
   • 如果涉及工伤，应尽快向工伤保险经办机构提交工伤认定申请，并提供相关证明材料。
   • 在处理过程中，家属或单位应保留好所有相关文件和证据，以备不时之需。

4. 可能的法律后果：

   • 如果单位未按照规定处理职工身故的后续事宜，可能会面临家属的投诉或法律诉讼。
   • 如果涉及工伤但未及时申请工伤认定，可能会影响工伤保险待遇的发放。

综上所述，事业单位在职职工身故的后续处理通常由单位的人事或人力资源部门负责，并可能涉及工伤保险经办机构等相关部门。在处理过程中，应遵循相关法律法规和单位规定，确保家属的合法权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。