针对您提出的问题，当婆婆生病住院需要请假，而公司却要求离职时，您可以参考以下建议来处理：
首先，要明确的是，劳动者因病请假是行使正当的休息权利，公司在员工患病或非因工负伤且处于医疗期内时，强制要求离职是涉嫌违法解除劳动合同的。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。
接下来，您可以按照以下步骤来应对：
确定医疗期：
- 根据您婆婆的工作年限和在本单位的工作年限，来确定她是否处于医疗期内。医疗期的长短与这两个因素相关，具体可参考相关法律法规或咨询专业人士。
与公司沟通：
- 向公司明确说明您婆婆的病情和医疗期的情况，表明她仍在医疗期内，并要求公司撤销离职决定，继续履行劳动合同。
- 如果公司坚持要求离职，您可以要求公司提供书面的离职通知，并保留好相关证据。
申请劳动仲裁：
- 如果与公司沟通无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在申请仲裁时，需要准备充分的证据，如劳动合同、医疗诊断证明、病假证明、与公司沟通的记录等，以支持自己的主张。
- 仲裁结果如果支持您的诉求，公司可能需要支付违法解除劳动合同的赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍，经济补偿按劳动者在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资标准执行。
法律途径：
- 如果对仲裁结果不满意，您还可以考虑向法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。
在处理这个问题时，请务必保持冷静和理性，依法维护自己的权益。同时，也要注意与公司的沟通方式，尽量通过正式、书面的方式与公司交流，并保留好所有相关的证据和文件。希望这些建议能对您有所帮助。