针对“不服不予补缴社保行政起诉的案由”这一问题，其核心在于确定提起行政诉讼的法律依据和事实基础。以下是对该问题的详细解答：

核心结论：不服不予补缴社保的行政起诉，其案由通常涉及行政机关在社保补缴方面的具体行政行为是否合法、合理，以及该行为是否侵犯了公民的合法权益。

1. 行政机关的不作为或违法作为：

   • 行政机关在收到社保补缴申请后，如未依法进行审查、处理，或作出的决定违反相关法律法规，如《中华人民共和国社会保险法》等，即构成不作为或违法作为。
   • 此类情况下，案由可表述为“请求确认行政机关不予补缴社保的具体行政行为违法”。

2. 侵犯公民合法权益：

   • 行政机关的不予补缴决定，如导致公民无法享受应有的社保待遇，或造成其他经济损失、精神损害等，即构成对公民合法权益的侵犯。
   • 此类情况下，案由可进一步细化为“请求撤销行政机关不予补缴社保的决定，并赔偿因此造成的损失”。

3. 法律依据：

   • 提起行政诉讼的法律依据主要包括《中华人民共和国行政诉讼法》、《中华人民共和国社会保险法》及相关地方性法规、规章等。
   • 这些法律法规为公民提供了维护自身社保权益的法律途径，包括申请行政复议、提起行政诉讼等。

4. 事实基础：

   • 提起行政诉讼的事实基础是行政机关的不予补缴决定及其相关证据材料，如申请书、决定书、社保缴费记录等。
   • 这些证据材料应能够证明行政机关的不作为或违法作为，以及该行为对公民合法权益的侵犯。

综上所述，不服不予补缴社保的行政起诉，其案由应围绕行政机关的具体行政行为是否合法、合理，以及该行为是否侵犯了公民的合法权益进行构建。在提起诉讼时，应明确法律依据和事实基础，以确保诉讼的合法性和有效性。如有进一步疑问或需要具体法律帮助，请直接向我咨询。