在父亲去世、母亲改嫁的情况下，爷爷奶奶想要获得孙子女的监护权，需要遵循一定的法律程序和原则。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律原则与规定
父母优先监护原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》，父母是未成年子女的法定监护人，这一权利不受父母婚姻关系解除的影响。即使父母离婚或一方去世，另一方仍保留监护权。
监护权变更条件：
- 若未成年人的父母已经死亡或没有监护能力（如因疾病、残疾等原因无法履行监护职责），其他有监护资格的人或组织可以申请变更监护人。
- 监护人有严重损害被监护人身心健康、怠于履行监护职责等情形时，人民法院也可以撤销其监护人资格，并指定新的监护人。
尊重被监护人意愿：
- 在变更监护权时，应尊重被监护人的真实意愿，特别是当被监护人达到一定年龄并具备表达意愿的能力时。
二、具体操作流程
评估监护情况：
- 首先，需要评估母亲是否仍然具备监护能力，以及是否实际在履行监护职责。如果母亲因改嫁等原因无法或不愿继续履行监护职责，这为爷爷奶奶申请变更监护权提供了前提。
协商与调解：
- 在确定母亲无法或不愿履行监护职责后，爷爷奶奶可以与母亲进行协商，看是否能够就变更监护权达成一致意见。如果可能，可以通过家庭调解或社区调解来促成这一结果。
提起诉讼：
- 如果协商无果，爷爷奶奶可以向人民法院提起诉讼，申请变更监护权。在诉讼过程中，需要提交相关证据来证明母亲无法或不愿履行监护职责，以及爷爷奶奶具备监护能力和条件。
法院审理与判决：
- 法院将审理案件，考虑被监护人的意愿、监护人的监护能力和条件、被监护人的生活和教育环境等因素，作出是否变更监护权的判决。
执行与监督：
- 如果法院判决变更监护权给爷爷奶奶，他们将承担起监护职责。同时，法院和相关部门也会对监护情况进行监督和评估，确保被监护人的权益得到保障。
三、注意事项
- 在整个过程中，应尊重被监护人的意愿和感受，确保他们的权益得到最大程度的保护。
- 爷爷奶奶在申请变更监护权时，需要准备充分的证据和材料来支持自己的主张。
- 如果涉及法律诉讼，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
综上所述，爷爷奶奶想要获得孙子女的监护权，需要遵循法律原则和规定，通过评估监护情况、协商与调解、提起诉讼等流程来实现。在整个过程中，应确保被监护人的权益得到最大程度的保护。