公司在以下情况下可以合法解除员工：

1. 协商解除：公司与员工双方协商一致，可以解除劳动合同。这种情况下，通常需要双方签订解除协议，并明确解除的条件、时间等。

2. 法定解除（员工存在过错情形）：

   • 试用期不符合录用条件，例如公司招聘时明确要求的技能或工作能力，员工在试用期内无法达到。
   • 严重违反公司规章制度，如多次迟到早退、旷工、泄露公司机密等。
   • 严重失职或营私舞弊，给公司造成重大损害，如因疏忽导致公司财产损失或签订不利合同。
   • 与其他单位建立劳动关系，影响本职工作，或未经允许在外兼职。
   • 以欺诈手段订立劳动合同，如伪造学历或工作经历。
   • 被依法追究刑事责任，如因职务侵占罪被判刑。

3. 无过失性辞退：

   • 员工患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事公司另行安排的工作。
   • 员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后，仍不能胜任。
   • 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议。这种情况下，公司需提前三十日以书面形式通知员工，或额外支付一个月工资后，方可解除劳动合同。

4. 经济性裁员：

   • 公司因生产经营发生严重困难，需要裁减人员。
   • 裁员规模需达到二十人以上，或占企业职工总数的百分之十以上。
   • 裁员前需向工会或全体职工说明情况，听取意见，并将裁减人员方案向劳动行政部门报告。
   • 裁员时，应优先留用与本单位订立较长期限固定期限劳动合同、无固定期限劳动合同以及家庭无其他就业人员、有需要扶养的老人或未成年人的员工。

在解除劳动合同时，公司必须遵循法定程序，如通知工会、出具书面证明等，并确保有充分的证据支持解除决定。若因违法解除而给员工造成损害，公司需承担相应的赔偿责任。因此，在解除员工时，公司应谨慎处理，确保合法合规。