结论前置：公司在开除员工时，必须严格遵循法律规定的条件和程序，否则可能面临支付经济赔偿金等法律责任。以下是公司在不同情况下可以开除员工的详细分析：
一、劳动者存在过错的情况
试用期间不符合录用条件
- 解释：公司在招聘时通常会设定明确的录用条件，并在员工入职时告知。若员工在试用期内未能达到这些条件，公司有权解除劳动合同。但需注意，公司需保留相关证据，如招聘广告、面试记录、试用期考核标准及结果等，以证明员工确实不符合录用条件。
严重违反规章制度
- 解释：公司的规章制度必须合法、合理且经过公示或告知员工。若员工存在严重违纪行为，如连续旷工、泄露商业机密等，公司可依据规章制度解除劳动合同。此时，公司需提供员工知晓规章制度的证据及违纪事实证明，如签字确认的规章制度手册、考勤记录等。
严重失职或营私舞弊
- 解释：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害时，公司可解除劳动合同。这里需明确“重大损害”的标准，并提供损失的相关证据，如财务报表、客户流失证明等。损害结果与员工行为需有直接因果关系。
兼职影响工作
- 解释：若员工同时与其他单位建立劳动关系，且对本职工作造成严重影响或拒不改正，公司可解除劳动合同。此时，公司需提供员工兼职及对本公司工作影响的证据，如兼职合同、工作表现记录等。
劳动合同无效
- 解释：若员工以欺诈、胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，公司可认定合同无效并解除劳动关系。此时，公司需提供员工欺诈行为的证据，如虚假证书的鉴定报告等。
被追究刑事责任
- 解释：若员工被依法追究刑事责任，公司可解除劳动合同。此时，公司需提供法院的生效判决等相关法律文书作为依据。
二、非因劳动者过错的情况
患病或非因工负伤
- 解释：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或新安排的工作时，公司可解除劳动合同。但需提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资，并提供医疗期证明、员工不能胜任工作的相关证明。
不能胜任工作
- 解释：员工不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任时，公司可解除劳动合同。此时，公司需明确“不能胜任工作”的标准，提供绩效考核记录、培训记录等证据，并提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资。
客观情况变化
- 解释：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议时，公司可解除劳动合同。此时，公司需提供客观情况变化的证明及与员工协商的记录，并提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资。
三、经济性裁员
- 解释：在公司依照企业破产法规定进行重整或生产经营发生严重困难时，可进行经济性裁员。但需遵循法定程序，如提前向工会或全体职工说明情况、听取意见、报告劳动行政部门等。
四、开除员工的程序要求
- 解释：无论基于何种原因开除员工，公司都必须确保有充足的事实依据，并遵循合法程序。包括明确且合理的规章制度、充分的过错证据、通知工会（如有）并研究其意见、向员工出具解除劳动合同的书面通知等。
五、经济补偿与赔偿
合法开除无需赔偿
- 解释：若公司依据合法事由开除员工，无需支付经济补偿或赔偿金，但应支付员工应得的工资。
违法开除需赔偿
- 解释：若公司违法开除员工，员工可要求继续履行合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
总结与建议：公司在开除员工时必须谨慎行事，确保有充足的事实依据和符合法律规定的程序步骤。若对具体法律条款或操作程序有疑问，可直接向我咨询，我会为你提供详细的法律解释和操作建议。