公司合法解除员工的情形主要分为过失性辞退、无过失性辞退以及经济性裁员三大类，以下是对这些情形的详细解析：
一、过失性辞退
在劳动者存在过错的情况下，公司有权单方面解除劳动合同，且通常无需支付经济补偿。具体情形包括：
试用期间不符合录用条件：
- 描述：员工在试用期内未能达到公司明确设定的录用标准或要求。
- 应用：公司需在招聘时明确录用条件，并在试用期内对员工进行客观考核。若员工未能满足这些条件，公司可据此解除劳动合同。例如，公司招聘程序员时明确要求掌握特定编程语言，员工在试用期内未能熟练掌握，经考核不达标，公司可依法辞退。
严重违反用人单位规章制度：
- 描述：员工违反了公司的行为准则、工作纪律、安全规定等，且情节较为严重。
- 应用：规章制度需符合法律规定的制定程序，内容合理合法，并已向员工公示。员工若触犯这些规定，公司有权解除合同。例如，员工打架斗殴，严重违反公司规定，公司可据此辞退。
严重失职，营私舞弊，造成重大损害：
- 描述：员工在工作中因疏忽大意或故意行为导致公司遭受重大损失，或利用职务之便谋取私利。
- 应用：“重大损害”的标准应由公司在规章制度中明确界定。一旦发生此类情况，公司可依法解除劳动合同。例如，财务人员因疏忽导致公司资金被骗，公司可辞退该员工并追究其责任。
同时与其他用人单位建立劳动关系，影响本职工作：
- 描述：员工在外兼职且影响到在本公司的工作任务完成，或在被告知后拒绝改正。
- 应用：若员工的行为对本公司业务造成严重影响，或经公司提出后仍不改正，公司有权解除合同。例如，员工未经允许在外兼职，经公司警告后仍不停止，公司可将其辞退。
以欺诈、胁迫手段订立或变更劳动合同导致无效：
- 描述：员工在入职时提供虚假信息或隐瞒重要事实，或以其他不正当手段迫使公司与其订立或变更劳动合同。
- 应用：在此情况下，劳动合同被视为无效，公司有权解除与员工的劳动关系。例如，员工伪造学历证书签订合同，公司发现后可辞退。
被依法追究刑事责任：
- 描述：员工因犯罪行为被司法机关追究刑事责任，包括被人民检察院免予起诉、被人民法院判处刑罚等。
- 应用：一旦员工被依法追究刑事责任，公司可立即解除与其的劳动合同。
二、无过失性辞退
在劳动者无过错，但因特定原因无法继续履行劳动合同的情况下，公司可提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并需支付经济补偿。具体情形包括：
患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作：
- 描述：员工因患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后，无法胜任原岗位工作，也拒绝接受公司合理调岗。
- 应用：公司可依法解除劳动合同，并支付经济补偿。
不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任：
- 描述：员工连续两次绩效考核不合格，经培训或调岗后仍无法达到岗位要求。
- 应用：公司可解除劳动合同，并支付经济补偿。例如，销售人员连续未完成任务，经培训和调整仍无法改善，公司可辞退。
劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且双方未能就变更劳动合同内容达成协议：
- 描述：如企业迁移、被兼并、经济性裁员等导致劳动合同无法履行的情况。
- 应用：公司可解除劳动合同，并支付经济补偿。
三、经济性裁员
在特定经济情况下，公司需裁减人员二十人以上或占企业职工总数百分之十以上时，可提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后裁减人员，并支付经济补偿。具体情形包括：
- 依照企业破产法规定进行重整的；
- 生产经营发生严重困难的；
- 企业转产、重大技术革新或经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的；
- 其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。
经济性裁员时，公司应优先留用长期合同、无固定期限合同及家庭负担重的员工。
总结与建议：
公司在解除员工劳动合同时，必须确保行为的合法性，严格遵守相关法律法规。对于不同类型的解除情形，有不同的法律要求和程序。若员工认为公司的解除行为违法，可通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。