车子卖掉后，老车主私自补领登记证书和行驶证是违法的。

首先，从法律角度来看，车辆的登记证书和行驶证是车辆的重要法定证件，它们记录了车辆的基本信息、所有权归属以及合法上路行驶的资格。当车辆被卖掉后，车辆的所有权已经转移给了新车主，老车主不再拥有该车辆的所有权，因此也就无权再持有或补领这些证件。

其次，如果老车主私自补领这些证件，可能会构成对新车主合法权益的侵犯。新车主在购买车辆后，有权获得车辆的完整所有权，包括车辆的登记证书和行驶证。老车主的私自补领行为，可能会干扰新车主对车辆的正常使用和管理，甚至可能引发一系列的法律纠纷。

此外，老车主的私自补领行为还可能触犯相关的法律法规。根据《中华人民共和国道路交通安全法》等相关法律规定，伪造、变造或者使用伪造、变造的机动车登记证书、号牌、行驶证、驾驶证的，由公安机关交通管理部门予以收缴，扣留该机动车，处十五日以下拘留，并处二千元以上五千元以下罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任。虽然老车主的行为可能并非伪造或变造，但其私自补领并使用这些证件的行为，同样可能被视为违反法律法规的行为，并受到相应的法律制裁。

综上所述，车子卖掉后，老车主私自补领登记证书和行驶证是违法的。如果新车主发现老车主存在这样的行为，可以及时向公安机关交通管理部门举报，并寻求法律帮助来维护自己的合法权益。