当老人身故后，其存款将变为遗产，需要按照法律程序进行继承。以下是详细的申请遗产继承流程，供您参考：

一、明确存款性质

首先，需要确定存款是夫妻共同财产还是个人财产。如果是夫妻共同财产，那么在分割遗产时，应先析出配偶的一半，剩余部分再作为遗产进行分配。如果是个人财产，则全部作为遗产进行继承。

二、确定继承人范围

接下来，需要明确继承人的范围。根据法律规定，继承人可以是法定继承人或遗嘱继承人。法定继承人按顺序分为第一顺序（配偶、子女、父母）和第二顺序（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）。如果无第一顺序继承人，则由第二顺序继承人继承。而被继承人也可以通过遗嘱指定继承人。

三、准备相关材料

在办理继承手续前，需要准备以下相关材料：

1. 继承人身份证明（如身份证、户口本等）；
2. 被继承人死亡证明（由医院或公安机关出具）；
3. 存款凭证（如存折、银行卡等）；
4. 如有遗嘱或遗赠扶养协议，需提供原件或公证复印件。

四、办理继承手续

1. 小额存款：

   • 根据银保监会和人民银行的规定，对于一定金额内（如1万元及以下，具体金额由银行规定）的小额存款，可以简化手续，凭相关证明材料直接提取。

2. 大额存款：

   • 需要办理继承公证。继承人需携带上述准备好的材料到当地公证处申请继承权公证。公证处会审核材料并出具继承权公证书。
   • 凭公证书到银行办理提取或过户手续。银行会根据公证书的内容，将存款过户给继承人或支付给继承人。

五、注意事项

1. 如果继承人之间有争议，应首先通过协商、调解或诉讼等方式解决争议。在争议解决后，再凭生效的法律文书办理继承手续。
2. 如果继承人不能亲自办理继承手续，可以委托他人代为办理。但需要提供有效的委托书和相关证明材料。
3. 整个继承过程应严格遵守法律法规和银行规定，确保手续齐全、合法有效。

综上所述，申请遗产继承需要明确存款性质、确定继承人范围、准备相关材料并办理继承手续。在处理过程中，应遵守法律法规和银行规定，确保各方权益得到妥善保护。如有任何疑问或困难，建议咨询专业法律和金融顾问的帮助。