针对你提出的问题，关于公司人事忘记和员工续签合同但每月工资按时发放，现在员工提出要双倍赔偿的情况，以下是我的详细解答：

结论前置：公司忘记续签劳动合同，员工是否能获得双倍赔偿，需根据具体情况分析。若公司确实存在未及时续签的情况，且符合法定条件，员工有权要求公司支付双倍工资作为赔偿；若员工拒绝续签或存在过错，则公司无需支付此类赔偿。

一、公司需支付双倍工资的情况

根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，若用人单位继续用工但未在一个月内与劳动者续订书面劳动合同，应自用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，向劳动者每月支付两倍的工资。这意味着，如果公司在劳动合同到期后继续留用员工，但未在一个月内续签合同，那么从第二个月开始，公司需要向员工支付双倍工资，直至补签劳动合同的前一日。

举例说明： 假设员工的劳动合同于2023年1月1日到期，公司继续留用该员工但直至2023年5月1日才续签，那么公司需要支付2023年2月1日至2023年4月30日期间的双倍工资。

二、公司无需支付双倍工资的情况

1. 员工拒绝续签：

   • 如果合同期满后，公司已提出维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而员工不同意续订，那么公司无需支付双倍工资或经济补偿。但公司需要承担举证责任，证明是员工拒绝续签。

2. 员工存在过错：

   • 如果劳动合同期满时，员工存在严重违反公司规章制度、严重失职营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，公司可以不续签劳动合同且无需支付双倍工资或经济补偿。

三、建议与注意事项

1. 及时续签：为避免此类纠纷，建议公司在劳动合同到期前后积极与员工沟通续签事宜，确保在合同期满前或期满后一个月内完成续签。

2. 保留证据：如果员工拒绝续签或存在过错导致公司不续签，公司应保留好相关证据，以便在必要时进行举证。

3. 咨询专业意见：在处理此类问题时，如果公司或员工对法律规定或赔偿标准存在疑问，可以咨询当地专业律师以获取更准确的法律意见。

综上所述，公司是否需要支付双倍工资取决于具体情况。如果公司确实存在未及时续签的情况且符合法定条件，员工有权要求双倍赔偿；但如果员工拒绝续签或存在过错，则公司无需支付此类赔偿。希望这个解答能对你有所帮助。如果你还有其他法律问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。