事业单位请假的管理部门通常是人社局（人力资源和社会保障局）。具体来说，当事业单位工作人员因事因病需要请假，特别是请假时间超过一定天数（如15天）时，需要按照一定流程进行请销假备案。这个流程一般包括以下步骤：
个人提出书面申请：事业单位工作人员首先需要向所在单位提出书面的请假申请，说明请假的原因、时间和期限等。
主管部门审批：请假申请需要经过所在单位的主管部门审批。主管部门会对请假申请进行审核，确认是否符合相关规定和条件。
报人社局审批备案：经过主管部门审批同意后，请假申请需要报送到人社局进行审批备案。人社局会对请假申请进行进一步的审核，并抄送主管部门和财政局等相关部门。
备案完成：人社局审批备案完成后，请假申请就正式生效了。此时，事业单位工作人员就可以按照批准的请假时间进行休假。
在请假过程中，还需要准备一些必要的申请材料，如请销假审批单、县级或县级以上医疗机构出具的诊断证明（如因病请假）、本人病历和收费票据等。这些材料是请假申请的重要依据，也是人社局进行审批备案的必要条件。
总的来说，事业单位请假的管理部门是人社局，而具体的请假流程则包括个人提出书面申请、主管部门审批、报人社局审批备案以及备案完成等步骤。希望这个解答能够帮助您更好地了解事业单位请假的流程和相关部门。