关于你在私人美容店不签劳动合同的情况下申请离职，多少天能走的问题，我可以给你以下详细的解答：

首先，结论上，由于未签订劳动合同，你与美容店之间并未形成正式的劳动关系，因此你提出离职后，理论上可以立即离职，无需等待特定的天数。但为了避免不必要的纠纷，建议你还是与雇主进行妥善沟通，确保双方对离职事宜达成一致。

以下是详细的分析：

1. 未签订劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 未签订劳动合同意味着双方并未明确约定劳动关系的具体条款，包括但不限于工作内容、工作时间、劳动报酬、离职条件等。

2. 离职的法律依据：

   • 在未签订劳动合同的情况下，你作为劳动者有权随时提出离职，且由于未形成正式的劳动关系，理论上不受《劳动合同法》中关于离职提前通知期限的限制。
   • 当然，出于职业道德和避免纠纷的考虑，建议你还是与雇主进行协商，确保离职过程的平稳进行。

3. 离职时的注意事项：

   • 尽管未签订劳动合同，但你在离职时仍有权要求雇主结清你应得的劳动报酬和其他福利待遇。
   • 如果雇主拒绝支付或存在其他违法行为，你可以向当地劳动监察部门投诉，寻求法律援助。

综上所述，由于未签订劳动合同，你提出离职后可以立即离职，但建议与雇主进行妥善沟通。如果你有任何其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。