当您的狗被撞且肇事者逃逸时，您可以按照以下步骤处理：
一、立即报警
首先，您要尽快报警，并向警方提供详细的事故发生情况，包括时间、地点、肇事车辆的特征（如车型、颜色、车牌号码等，如果记得的话）以及逃逸方向等信息。警方会着手展开调查，通过现场勘查、调取监控等手段来寻找肇事车辆。一旦找到肇事方，您作为狗的主人，有权要求其赔偿狗的治疗费、购买费等直接损失。
二、保留证据
在等待警方到场的同时，您要尽量保留好事故现场的照片、视频等证据，包括狗的伤势情况、事故现场的环境等。这些证据对于后续维权、确定责任以及保险理赔都非常重要。
三、寻求法律帮助
民事赔偿：如果肇事方被找到，且其存在过错导致狗狗受伤，根据《民法典》的规定，肇事方需承担侵权责任。您可以要求其赔偿狗的治疗费用、购买费用以及因事故导致的其他直接损失。如果无法协商解决，您可以通过民事诉讼途径来维权。
行政处罚：从行政方面来看，如果事故发生在道路上，逃逸行为违反了《道路交通安全法》。根据规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，公安机关交通管理部门可以处二百元以上二千元以下罚款，并可并处十五日以下拘留。
刑事责任：如果狗的价值较高，且肇事逃逸行为构成了故意毁坏财物罪，那么逃逸者还可能面临刑事处罚。根据《刑法》的规定，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，可能处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金。
四、考虑保险理赔
如果您曾为狗购买了宠物责任险等相关保险，那么在找不到肇事方的情况下，您可以向保险公司申请理赔。在申请理赔时，您需要提供保险合同、事故证明、狗的诊疗记录以及事故现场照片等证据。保险公司会根据保险合同的约定进行理赔。
总之，面对狗被撞且肇事者逃逸的情况，您要保持冷静并尽快采取行动。通过报警、保留证据、寻求法律帮助以及考虑保险理赔等方式来维护自己的合法权益。