对于一名工作了九年的员工无缘无故被裁员的情况，补偿的具体方式如下：

首先，根据劳动法的相关规定，用人单位在无故裁员时，需要向劳动者支付经济补偿。补偿的标准主要是根据劳动者在本单位工作的年限来计算，具体为每满一年就支付一个月的工资。因此，对于工作了九年的员工，用人单位应当支付九个月的工资作为经济补偿。

其次，如果用人单位的裁员行为违反了法律规定，即不符合法律规定的裁员情形却进行了裁员，那么劳动者有权要求用人单位按照经济补偿标准的二倍来支付赔偿金。也就是说，在这种情况下，工作了九年的员工可以要求用人单位支付相当于18个月工资的赔偿金。

总的来说，对于无缘无故被裁员的情况，员工有权获得相应的经济补偿或赔偿金，具体数额会根据员工在本单位的工作年限、工资标准以及用人单位的裁员行为是否合法等因素来确定。如果员工在维权过程中遇到任何困难，建议咨询专业的劳动法律师或相关机构，以维护自己的合法权益。