打架双方提出调解后，公安机关并不必须同意调解。具体是否进行调解，取决于打架事件的性质、情节以及危害后果等多种因素。以下是对此问题的详细分析：
调解的适用条件：
- 对于因民间纠纷引起的打架斗殴，且情节较轻，没有造成严重的人身伤害和重大财产损失的情况，公安机关通常会考虑进行调解。
- 调解的目的是化解矛盾纠纷，维护社会和谐稳定，因此，在双方自愿的基础上，公安机关会提出公平合理的调解方案。
调解的限制：
- 若打架行为情节严重，涉及犯罪，如造成一方重伤、死亡等严重后果，或者存在结伙斗殴、多次殴打他人等恶劣情形，公安机关不会进行调解。
- 在这种情况下，公安机关会依法进行刑事立案侦查，追究相关人员的刑事责任。
调解不成时的处理：
- 如果双方不接受调解方案或调解未成功，公安机关将依法对涉事双方作出行政处罚决定。
- 同时，告知双方可以就民事赔偿部分通过民事诉讼来解决争议，维护自己的合法权益。
综上所述，打架双方提出调解后，公安机关会根据具体情况判断是否进行调解。如果符合调解条件，公安机关会进行调解；如果不符合调解条件或调解未成功，公安机关将依法处理。因此，并不能一概而论地说公安机关必须同意调解。在处理此类事件时，应尊重法律法规，配合公安机关的工作，以合理合法的方式解决争议。