公司无权拒绝员工因直系亲属病重提出的合理续假请求，但员工也应遵守公司规定并尽量协商。针对你的问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 员工请假权利

1. 劳动法规定：根据《中华人民共和国劳动法》和相关规定，员工有因私事请假的权利。虽然具体天数由公司政策决定，但在直系亲属（如母亲）病重的情况下，员工有权提出续假请求。
2. 公司政策与人性化考虑：公司政策通常会规定请假的具体条件和天数，但在特殊情况下，如直系亲属病重，公司应给予人性化考虑，允许员工续假。

二. 公司拒绝续假的法律后果

1. 可能构成违法：如果公司无正当理由拒绝员工的合理续假请求，可能构成对员工合法权益的侵犯，员工有权向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。
2. 影响员工权益：拒绝续假可能导致员工无法及时照顾病重的直系亲属，进而对员工的工作积极性和忠诚度产生负面影响。

三. 建议解决方案

1. 与公司协商：首先，建议你与公司的人力资源部门或上级领导进行坦诚沟通，说明母亲病重的实际情况，并请求续假。可以尝试提出具体的续假天数和计划，以及如何确保工作不会因此受到影响。
2. 寻求法律帮助：如果公司拒绝续假且无法协商解决，你可以考虑向当地的劳动监察部门投诉或咨询律师，了解你的法律权益和可能的救济途径。
3. 灵活工作安排：在可能的情况下，你也可以与公司探讨灵活工作安排的可能性，如远程工作、调整工作时间等，以便在照顾母亲的同时也能完成工作任务。

我建议，在与公司协商时，保持冷静和理性，尽量提供母亲病重的相关证明，以争取公司的理解和支持。同时，也要做好法律准备，确保自己的合法权益不受侵犯。如有进一步需要，您可以继续咨询我。