结论前置：私立幼儿园停办时，聘用的已经退休的保育员是否有补偿，这主要取决于双方的具体约定以及相关的法律法规。一般来说，如果双方签订了劳动合同或劳务合同，并明确约定了补偿条款，那么保育员在幼儿园停办时是有权要求补偿的。但如果双方没有明确的约定，或者保育员以兼职、临时用工等形式被聘用，那么补偿问题可能就需要根据具体情况来协商解决了。
详细分析：
合同约定情况：
- 如果私立幼儿园与退休保育员之间签订了正式的劳动合同或劳务合同，并且合同中明确规定了幼儿园停办时的补偿条款，那么保育员完全有权依据合同条款要求幼儿园支付相应的补偿金。
- 合同中的补偿条款可能包括补偿金的计算方式、支付时间、支付方式等具体内容，保育员应仔细查阅合同，了解自己的权益。
无合同约定或约定不明确情况：
- 如果双方没有签订正式的合同，或者合同中未明确约定幼儿园停办时的补偿问题，那么保育员在主张补偿时可能会面临一些困难。
- 在这种情况下，保育员可以尝试与幼儿园进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。协商时，保育员可以提出自己的合理诉求，如按照工作年限、工作表现等因素来确定补偿金额。
法律法规依据：
- 虽然我国劳动法主要保护的是劳动者与用人单位之间的劳动关系，但对于退休后再就业的人员，其法律关系可能更偏向于劳务关系。
- 在劳务关系中，双方的权利义务主要通过合同来约定。因此，保育员在主张补偿时，应首先查看双方是否有明确的合同约定。
- 如果双方无法达成一致，保育员也可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，如向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
建议：
- 保育员在主张补偿时，应首先查看自己与幼儿园之间是否有明确的合同约定。
- 如果合同中有明确的补偿条款，应依据合同条款来主张自己的权益。
- 如果合同中没有明确的约定，可以尝试与幼儿园进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
- 在协商过程中，保育员可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保护。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。