申请院长纠错启动再审通常不可以增加诉求。下面我将对此进行详细解释：

1. 再审程序的性质：

   • 再审程序是针对已发生法律效力的判决或裁定进行纠正错误的特别程序。
   • 其核心功能在于对原裁判的合法性进行深入审查，而非处理新的诉求。

2. 增加诉求的限制：

   • 通常情况下，申请再审并不允许原告违反胜诉权原则地增加诉讼请求。
   • 再审的审查范围往往仅限于原生效裁判所确立的法律关系以及诉讼请求本身。

3. 特殊情形下的处理：

   • 若原告能够以原生效裁判并未涉及到的新事实与新理由为基础，提出全新的诉讼请求，并且满足相关法定条件的话，那么该项请求有可能获得法院的受理。
   • 但这种情况属于例外，并非再审程序的常规操作。

4. 建议：

   • 鉴于再审程序的特殊性和限制，建议您在原审阶段就应当充分行使自己的权利，避免在再审环节面临诉求无法得到支持的风险。
   • 如果您有新的诉求或事实，建议考虑通过其他法律途径（如另行起诉）来维护自己的权益。

综上所述，申请院长纠错启动再审通常不允许增加诉求，这是由再审程序的性质和目的所决定的。在特殊情形下，虽然有可能获得法院的受理，但这种情况并非常规操作，且需要满足严格的法定条件。因此，建议您在原审阶段就充分行使自己的权利，避免在再审环节面临不必要的风险。