您好，关于您提出的问题“第一顺序法定监护人不愿意承担监护责任，可以由第二顺序监护人担任吗”，以下是我的详细解答：

首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母是未成年子女的法定监护人，对其负有抚养、教育和保护的义务。这种法定的监护职责在正常情况下会一直延续到子女成年后终止。

然而，在某些特殊情况下，如父母已经死亡、没有监护能力或者被撤销监护人资格后，就需要由其他有监护能力的人按顺序来担任监护人。这时，监护人的顺序是按照法律规定的来确定的。

根据《中华人民共和国民法典》第二十七条的规定，当父母无法履行监护职责时，监护人的顺序如下：

1. 第一顺序监护人是祖父母、外祖父母；
2. 第二顺序监护人是兄、姐；
3. 第三顺序监护人是其他愿意担任监护人的个人或者组织，但这需要经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。

现在，针对您的问题，如果第一顺序法定监护人（即祖父母、外祖父母）不愿意承担监护责任，那么按照法律规定的顺序，第二顺序监护人（即兄、姐）是有资格担任监护人的。当然，这还需要考虑第二顺序监护人是否具备监护能力，以及是否愿意承担监护责任。

如果第二顺序监护人愿意并具备监护能力，那么他们就可以担任监护人。如果第二顺序监护人也不愿意或者不具备监护能力，那么就需要按照法律规定的顺序继续寻找合适的监护人，或者通过协商、指定等方式来确定监护人。

总的来说，当第一顺序法定监护人不愿意承担监护责任时，第二顺序监护人是有资格担任监护人的，但具体还需要考虑其是否具备监护能力和是否愿意承担监护责任。希望这个解答能够对您有所帮助。