当法定监护人不愿意履行监护职责时，确实是可以指定新的监护人的。这一规定主要依据的是《中华人民共和国民法典》中关于监护制度的相关条款。

首先，如果法定监护人不愿意或者无法履行监护职责，导致被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益处于无人保护的状态，那么被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门是有权指定监护人的。这是根据《民法典》第三十一条的规定，这些机构在指定监护人时，会尊重被监护人的真实意愿，并按照最有利于被监护人的原则，在依法具有监护资格的人中做出选择。

其次，如果有关当事人对指定不服，他们还可以向人民法院申请指定监护人。或者，有关当事人也可以直接向人民法院提出申请，由法院来指定监护人。法院在做出决定时，同样会遵循最有利于被监护人的原则。

再者，如果法定监护人存在严重损害被监护人身心健康、怠于履行监护职责导致被监护人处于危困状态，或者实施严重侵害被监护人合法权益的其他行为，那么根据《民法典》第三十六条的规定，人民法院可以根据有关个人或者组织的申请，撤销其监护人资格，并按照最有利于被监护人的原则依法指定新的监护人。

以实际案例来说，比如黄冈市罗田县人民法院就审结过一起撤销未成年人监护权案，判决撤销了孩子父亲的监护人资格，并指定了村民委员会担任监护人。这是因为孩子的父亲多次对女儿实施侵害构成犯罪，且母亲因智力偏低无法履行监护职责，所以村民委员会作为申请人申请撤销了父亲的监护资格，并得到了法院的支持。

综上所述，当法定监护人不愿意监护时，我们确实可以通过法律途径来指定新的监护人，以确保被监护人的合法权益得到保护。