审查工人是否持有焊工证的主要责任通常落在应急管理部门，也就是原安全生产监督管理部门。这些部门负责监管特种作业人员的资质和安全生产情况，其中包括焊工这类从事高风险作业的人员。

具体来说，应急管理部门会定期对焊工等特种作业人员进行审核，检查他们是否持有有效的特种作业操作证。这个证件是焊工从事相关工作的必备资质，证明了他们具备相应的安全知识和操作技能。审核过程中，部门会关注从业人员的身体状况、安全生产违法违规行为和事故责任，并帮助他们学习新法规、新工艺、新装备和新技术，以确保他们的作业安全。

此外，如果企业被举报存在雇佣无证焊工的情况，应急管理部门也会迅速响应，进行现场核查。他们会检查现场焊接人员是否持有特种作业操作证，并对无证焊接等违规行为进行查处。

因此，可以明确地说，审查工人是否持有焊工证的工作主要由应急管理部门负责。他们通过定期审核和现场核查等方式，确保焊工等特种作业人员具备相应的资质和安全生产条件，从而保障社会的安全和稳定。