留置人员自首的认定由公安机关、人民检察院和人民法院进行。具体分析如下：

一. 自首的认定主体与阶段

自首的认定是一个涉及公安、检察机关及人民法院的多阶段法律过程。

1. 侦查阶段：

   • 公安机关：负责大多数普通刑事案件的侦查。当犯罪嫌疑人主动投案并如实供述罪行时，公安机关会初步认定自首情节。在职务犯罪案件中，若留置人员向公安机关自首，公安机关同样会进行自首的初步认定。
   • 检察机关自侦部门：特定类型案件（如贪污贿赂、渎职侵权）的侦查机关。若留置人员涉及此类案件并向此部门自首，该部门将负责认定。

2. 审查起诉阶段：

   • 人民检察院：全面审查包括自首在内的各种法定情节。在审查过程中，人民检察院如发现新的证据或事实影响自首认定，将重新考量。

3. 审判阶段：

   • 人民法院：最终权威认定机关。法院综合考虑投案主动性、如实供述程度等因素，对留置人员是否构成自首作出最终裁决。

二. 自首的认定条件

无论在哪个阶段，自首的认定都需满足以下条件：

1. 自动投案：犯罪事实或犯罪嫌疑人未被发觉前，或虽被发觉但尚未受到讯问、采取强制措施时，主动投案。
2. 如实供述自己的罪行：如实交代主要犯罪事实，包括数罪中仅如实供述的部分，以及共同犯罪中的同案犯及共同犯罪事实。

综上所述，留置人员自首的认定是一个贯穿侦查、审查起诉、审判全过程的法律程序，需要各司法机关严格依法判断。如有进一步需要，您可以继续咨询我。