结论前置：农民工被拖欠工资，老板不给项目部垫资的情况下，项目部通常没有直接的权利去追回被拖欠的农民工工资，因为这涉及到劳动关系的双方——即农民工与雇主（或用人单位）之间的权利义务关系。项目部作为非直接用工方，其权利和责任需根据具体的合同安排和法律规定来确定。

详细分析：

1. 劳动关系的本质：

   • 农民工与雇主之间建立的是劳动关系，工资是劳动关系的核心内容之一。根据《劳动法》和《劳动合同法》的规定，雇主有义务按时足额支付农民工的工资。

2. 项目部的角色：

   • 项目部通常作为建设单位或施工单位的一个内部管理机构，负责工程项目的具体实施和管理。它并不是劳动关系的直接一方，因此不直接承担支付工资的责任。

3. 工资拖欠的解决途径：

   • 当农民工工资被拖欠时，首先应由农民工本人或代表其与雇主进行协商，要求支付拖欠的工资。
   • 如果协商无果，农民工可以向当地的劳动监察部门投诉，由劳动监察部门对雇主进行查处，并要求其支付拖欠的工资。
   • 农民工还可以选择通过法律途径解决，如申请劳动仲裁或提起诉讼，要求雇主支付拖欠的工资及相应的赔偿。

4. 项目部的可能责任：

   • 在某些情况下，如果项目部与雇主之间有明确的合同约定，且合同中规定了项目部在工资支付方面的某种责任或义务，那么项目部可能会根据合同的约定承担相应的责任。
   • 但这种责任是基于合同约定的，而非基于劳动关系的直接责任。因此，项目部是否需要承担责任，以及承担何种责任，都需根据具体的合同内容和法律规定来判断。

总结与建议：

• 农民工被拖欠工资时，应首先通过协商、投诉或法律途径来维护自己的合法权益。
• 项目部作为非直接用工方，通常不直接承担支付工资的责任。但其是否承担责任需根据具体的合同安排和法律规定来确定。
• 如果农民工在维权过程中遇到法律问题或需要进一步的法律帮助，可以向我咨询，我会提供专业的法律支持和建议。