父亲被判刑一个月是会留下案底的。以下是详细分析：

1. 案底的含义：

   • “案底”通常指的是一个人在司法机关的犯罪记录或不良记录。这些记录会保存在相关的司法机关或数据库中，并可能在未来的某些情况下被查阅或考虑。

2. 判刑与案底的关系：

   • 当一个人被法院判刑，无论刑期长短，这一判决都会成为其犯罪记录的一部分，即留下案底。这意味着，即使父亲只被判刑一个月，这一判决也会在其犯罪记录中有所体现。

3. 案底的影响：

   • 案底可能会对个人的未来产生一定影响，例如在求职、申请某些许可证或进行背景调查时，相关机构可能会查阅个人的犯罪记录。
   • 在某些情况下，有犯罪记录的人可能会受到一定的限制或歧视，例如在某些行业或职位上可能无法被录用。

4. 建议：

   • 如果父亲对此有疑虑或担忧，建议他咨询当地的司法机关或律师，以了解具体的法律规定和可能的影响。
   • 同时，也可以考虑采取一些措施来减轻案底带来的负面影响，例如积极改正错误、参与社会公益活动、寻求职业培训等，以提高自己的社会竞争力和信誉度。

综上所述，父亲被判刑一个月是会留下案底的，这一记录将保存在司法机关的数据库中，并可能在未来的某些情况下被查阅或考虑。如果有任何进一步的法律问题或疑虑，请直接向我咨询。