在合同纠纷中，关于笔迹鉴定的主张方，并没有明确的法律规定必须由哪一方提出。笔迹鉴定通常是在合同双方对签名或书面内容的真实性存在争议时，作为一种证据手段来使用的。

1. 主张方的灵活性：无论是原告还是被告，只要认为笔迹鉴定对于证明自己的主张或反驳对方的主张有必要，都可以向法院提出笔迹鉴定的申请。法院会根据案件的具体情况，决定是否同意进行笔迹鉴定，并指定相应的鉴定机构进行鉴定。

2. 鉴定程序的启动：一般来说，笔迹鉴定的启动需要由一方当事人向法院提出书面申请，并说明鉴定的必要性和具体理由。法院在审查后，如果认为鉴定对于查明案件事实有重要作用，就会同意鉴定申请，并安排具体的鉴定程序。

3. 鉴定费用的承担：关于笔迹鉴定的费用，通常是由申请鉴定的一方当事人先行垫付。如果鉴定结果支持了申请方的主张，那么这笔费用可能会由对方当事人承担，或者根据案件的具体情况由法院决定分担方式。

综上所述，笔迹鉴定的主张方并没有固定的规定，而是根据案件的具体情况和当事人的需要来确定。如果你在实际合同中遇到了相关问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况给出更详细的法律建议。