代开运输发票的部门对案涉运费不应承担支付责任。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 代开运输发票的性质

1. 代开运输发票通常是由税务部门或相关代理机构为不具备自行开具发票条件的运输单位或个人提供的一种服务。这种服务主要是为了确保税收的合规性，并不涉及实际的交易行为。
2. 代开发票的部门并不参与运输合同的签订和履行，也不是运输服务的提供方或接收方。因此，从合同法的角度来看，代开发票的部门没有承担支付运费的法律义务。

二. 支付责任的法律依据

1. 根据《中华人民共和国合同法》的相关规定，支付运费的责任应由运输合同的当事人承担，即托运人或收货人。这些当事人是基于运输合同而产生的支付义务，与代开发票的部门无关。
2. 除非有特别的法律规定或合同约定将支付责任转移给代开发票的部门，否则它们不应承担支付运费的责任。而在实践中，这样的特别规定或约定是非常罕见的。

三. 实际操作的考量

1. 在实际操作中，代开发票的部门通常只是负责发票的开具和税收的征缴，并不涉及运费的支付。运费支付通常是由托运人或收货人直接支付给运输服务提供方。
2. 如果要求代开发票的部门承担支付责任，不仅缺乏法律依据，而且可能引发一系列不必要的法律纠纷和行政风险。

综上所述，代开运输发票的部门对案涉运费不应承担支付责任。这一结论是基于对代开运输发票性质的理解、支付责任法律依据的分析以及实际操作考量的综合判断。如有进一步需要，您可以继续咨询我。