针对您提出的问题，即老人生前给其中一个子女现金，只有口头赠与，老人去世后如何证明，以下是我的详细解答：

首先，我们需要明确的是，口头赠与在法律上的效力相对较弱，特别是在没有其他证据支持的情况下。因此，要证明这样的赠与行为，我们需要尽可能收集更多的证据来支持。

一、证据收集

1. 证人证言：寻找可能见证这一赠与行为的第三方证人，如亲友、邻居或其他人，他们的证言可以作为证明口头赠与存在的证据。
2. 书面记录：虽然口头赠与本身没有书面记录，但如果老人在其他场合（如家庭会议、书信等）曾提及这一赠与，并留下了书面记录，这些记录也可以作为辅助证据。
3. 录音或录像：如果赠与行为发生时或之后，有录音或录像记录，这些也是非常重要的证据。但请注意，录音或录像需要合法取得，不能侵犯他人的合法权益。
4. 其他相关证据：如老人的银行流水、子女的收款记录等，虽然不能直接证明口头赠与，但可以作为辅助证据来支持赠与行为的存在。

二、法律途径

1. 家庭协商：首先，可以尝试通过家庭协商的方式解决问题。如果其他家庭成员对这一赠与行为没有异议，或者能够达成共识，那么可以制作一份家庭协议，明确赠与的事实和金额，并由所有相关方签字确认。
2. 法律诉讼：如果家庭协商无法解决问题，或者赠与行为涉及较大的金额和复杂的法律关系，那么可以考虑通过法律诉讼来维护自己的权益。在这种情况下，建议咨询专业的律师，了解具体的法律程序和诉讼要求。

三、注意事项

1. 时效性：请注意，法律诉讼通常有一定的时效性要求。如果超过了法定的诉讼时效期间，那么可能会丧失胜诉的权利。
2. 证据保全：在收集证据的过程中，要注意证据的保全和固定。一旦证据丢失或毁损，可能会对诉讼结果产生不利影响。
3. 法律咨询：在处理这类问题时，建议尽早咨询专业的律师或法律机构。他们可以提供具体的法律建议和指导，帮助您更好地维护自己的权益。

综上所述，要证明老人生前的口头赠与行为，需要尽可能收集更多的证据来支持。同时，根据具体情况选择合适的法律途径来维护自己的权益。希望这些建议能对您有所帮助。