超市收错10元退还顾客是合理的解决方案，若顾客不同意并咨询相关部门，超市应积极配合并提供相应证据。针对此问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 超市收错钱款的法律性质

1. 不当得利：根据《民法典》第九百八十五条，得利人没有法律根据取得不当利益的，受损失的人可以请求得利人返还取得的利益。超市收错钱款，属于不当得利，应当退还给顾客。

二. 超市的退款义务

1. 退还多收款项：超市在发现收错钱款后，有义务及时退还给顾客，这是基于不当得利的法律规定，也是商业诚信的体现。

三. 顾客不同意退款方案的处理

1. 沟通解释：超市应首先与顾客进行沟通，解释收错钱款的情况，并明确表示愿意退还多收的10元。
2. 提供证据：如果顾客对超市的解释表示怀疑，超市可以提供收银记录、监控视频等证据，证明收错钱款的事实。
3. 配合咨询：如果顾客仍然不满意，并表示要咨询相关部门，超市应积极配合，提供所需的信息和证据，以便相关部门进行调查和调解。

四. 顾客咨询相关部门的可能结果

1. 确认超市无误：如果相关部门调查后确认超市确实收错了钱款，并且已经或愿意退还，那么顾客的诉求可能不会被支持。
2. 超市存在过错：如果调查发现超市在收款过程中存在过错，如故意多收或拒不退款，相关部门可能会对超市进行处罚，并要求超市退还多收的款项。

综上所述，超市收错10元退还顾客是合理的，也是法律规定的义务。如果顾客不同意此方案并咨询相关部门，超市应积极配合调查，提供相应证据，以维护自身的合法权益。同时，我建议超市在日常经营中加强收银管理，避免类似情况的发生，以维护商业诚信和顾客信任。如有进一步需要，您可以继续咨询我。