结论前置：连续签订三次劳动合同到期后，若用人单位不续签，且劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，用人单位需支付赔偿金，标准为经济补偿金的两倍（即2N）。若用人单位提出不续签，而劳动者不符合无固定期限劳动合同的条件，则用人单位需支付经济补偿金（即N）。

详细分析：

1. 劳动合同终止与续签：

   • 根据《劳动合同法》第四十四条第一项，劳动合同期满即行终止。若双方未达成续签合意，劳动合同自然终止。
   • 根据《劳动合同法》第十四条，劳动者已连续订立二次固定期限劳动合同，且不存在严重违反规章制度等法定解除情形时，续订劳动合同应订立无固定期限劳动合同，除非劳动者主动提出订立固定期限劳动合同。

2. 经济补偿与赔偿金：

   • 用人单位提出不续签（且劳动者不符合无固定期限劳动合同条件）：
     • 根据《劳动合同法》第四十六条第五项，用人单位应向劳动者支付经济补偿金。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
   • 劳动者符合无固定期限劳动合同条件而用人单位拒绝续签：
     • 在此情况下，用人单位属于违法终止劳动合同。根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位应支付劳动者赔偿金，标准为经济补偿金的两倍（即2N）。赔偿金计算方式如下：

          - 赔偿金 = 经济补偿金 × 2
          - 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（劳动合同解除或终止前12个月的平均工资）
       

3. 劳动者提出不续签：

   • 若劳动者自己提出不再续签劳动合同，且用人单位提供的劳动条件未降低或未违反法律规定，则用人单位无需支付经济补偿金。

实际操作中的注意事项：

• 劳动者在第三次劳动合同到期前，可以书面形式要求签订无固定期限劳动合同。如果公司拒绝，劳动者可以主张违法解除并要求2N赔偿。
• 劳动者应保存好劳动合同、工资单、续签通知等证据，以备维权使用。
• 如果公司能够证明劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的过失（如严重违反规章制度、严重失职等），公司可以合法解除劳动合同，无需支付赔偿金。

总结：连续签订三次劳动合同到期后，用人单位不续签的法律后果取决于劳动者是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。若符合，用人单位需支付2N赔偿金；若不符合，则支付N经济补偿金。劳动者在面临此类情况时，应了解自己的权利，并妥善保存相关证据以备维权。