没结婚生下孩子后，将孩子丢给母亲或父亲，若此行为构成遗弃，则可能触犯法律。以下是对此问题的详细分析：

一. 遗弃行为的法律界定

根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，构成遗弃罪，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。在此情况下，若父母生下孩子后，未承担扶养责任，而是将孩子遗弃，且情节恶劣，即可能构成遗弃罪。

• 例如，如果父母生下孩子后，完全不顾孩子的死活，将其丢给一方后便不再过问，导致孩子处于无人照料的危险境地，这就可能构成遗弃罪。

二. 非婚生子女的权利与父母的义务

根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。因此，无论父母是否结婚，孩子均享有被扶养的权利，父母有义务承担扶养责任。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。

• 例如，即使父母未结婚，孩子仍有权要求父母提供必要的生活、教育等费用，以保障其正常成长。如果父母一方拒绝承担这些责任，另一方或相关机构有权要求其履行扶养义务。

三. 法律责任与后果

若父母将孩子遗弃，且情节恶劣，构成遗弃罪的，将依法承担刑事责任。同时，不直接抚养孩子的一方还需承担支付抚养费等民事责任。此外，遗弃行为还会对孩子的身心健康造成严重影响，甚至可能导致孩子无法获得必要的照顾和教育。

我的建议：

对于未结婚生下孩子的父母来说，应该承担起扶养孩子的责任，确保孩子得到必要的照顾和教育。如果因各种原因无法直接抚养孩子，应该通过合法途径寻求帮助，如寻求社会福利机构的支持或与其他亲属协商共同抚养等，而不是简单地将孩子遗弃给一方。如有进一步需要，您可以继续咨询我。