母亲离家出走把小孩丢给父亲，这一行为在大多数情况下不构成犯罪，但母亲仍需承担抚养义务。然而，如果情节恶劣，导致孩子生活陷入严重困境或安全受到威胁，则可能构成遗弃罪，需要承担刑事责任。以下从不同角度进行详细分析：
一、一般情况下的法律解读
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这一义务是法定的，不因父母之间的个人关系变化（如离婚、分居等）而消除。因此，在日常的家庭纠纷或生活情境中，如果母亲因暂时原因（如工作、出差等）将孩子交给父亲照顾，并且这种安排不会对孩子的安全、健康成长造成实质性危害，那么通常不涉及犯罪问题。这属于家庭内部的事务安排，虽然可能在处理方式上存在不妥，但并不触犯刑法。
二、可能构成犯罪的情况
遗弃罪：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条的规定，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
- 在此情境下，如果母亲有能力抚养孩子，却故意将孩子丢弃在无人照顾的危险环境中，或者长期不与孩子联系，也不提供任何生活费用和照顾，导致孩子的生活陷入严重困境，这种行为就可能被认定为遗弃罪。例如，母亲离家出走后，长期不归，也不支付抚养费，导致孩子生活无着落，就可能构成遗弃罪。
其他犯罪：
- 如果母亲的行为进一步导致孩子身体受到严重伤害或死亡，还可能涉及故意伤害罪、故意杀人罪等更为严重的犯罪。例如，明知孩子患有严重疾病需要及时治疗，却故意抛弃孩子不给治疗，最终导致孩子病情恶化死亡，这种情况下可能会被认定为故意杀人罪。
三、犯罪构成要件分析
遗弃罪的构成要件包括：
- 侵犯被害人在家庭中的平等权利；
- 客观上表现为对应当扶养的家庭成员拒绝扶养的行为；
- 犯罪主体是对被遗弃者负有法律上的扶养义务的人；
- 主观方面是故意，即明知自己应当履行扶养义务而拒绝履行。
四、后续处理与建议
抚养义务：
- 即使母亲将孩子留给父亲，她仍然负有抚养义务。如果父亲要求，母亲需要支付抚养费。这是基于《中华人民共和国民法典》中关于父母抚养义务的规定。
法律途径：
- 如果母亲的行为构成遗弃罪或其他犯罪，父亲可以向公安机关报案，由公安机关进行调查取证，并依法追究母亲的刑事责任。
- 同时，父亲也可以向法院提起民事诉讼，要求母亲履行抚养义务，支付抚养费等。
家庭沟通：
- 在处理此类问题时，建议父母双方能够理性沟通，共同承担起抚养孩子的责任。家庭纠纷和矛盾应该通过协商、调解等方式解决，而不是通过遗弃孩子等极端方式来处理。
总结与建议：母亲离家出走把小孩丢给父亲的行为，在一般情况下不构成犯罪，但母亲仍需承担抚养义务。然而，如果情节恶劣，导致孩子生活陷入严重困境或安全受到威胁，则可能构成遗弃罪或其他犯罪，需要承担刑事责任。因此，在处理此类问题时，应综合考虑具体情况，确保孩子的权益得到妥善保护。同时，也建议父母双方在面对家庭纠纷时，能够理性沟通，共同承担起抚养孩子的责任。如果有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。