结论：母亲把孩子丢给奶奶是否犯法，不能一概而论，需根据具体情况判断。以下从不同角度进行分析：

1. 若母亲有抚养能力却拒绝抚养，将孩子丢给奶奶且未尽抚养义务：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》第一千零五十八条，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。若母亲有抚养能力却拒绝履行这一义务，将孩子丢给奶奶且未提供必要的经济支持和生活照顾，可能构成遗弃行为。
   • 法律后果：在情节严重的情况下，如导致孩子身心健康受到严重损害，母亲可能涉嫌遗弃罪，根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条，可处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。

2. 若母亲因特殊原因暂时无法抚养，与奶奶协商并得到奶奶同意后，将孩子交由奶奶照顾：

   • 法律背景：在这种情况下，母亲并非拒绝履行抚养义务，而是因特殊原因（如工作、疾病等）暂时无法直接抚养孩子。若母亲与奶奶协商并得到奶奶同意，且母亲在有能力时仍积极履行抚养义务（如提供经济支持、定期探望等），则不构成违法。
   • 法律建议：为避免潜在纠纷，母亲应与奶奶签订书面协议，明确双方的权利和义务，包括抚养期限、经济支持、探望权等。

3. 若奶奶自愿承担抚养责任，且母亲未完全放弃抚养义务：

   • 法律背景：在奶奶自愿承担抚养责任的情况下，若母亲并未完全放弃对孩子的抚养义务，而是与奶奶共同承担抚养责任（如母亲提供经济支持、奶奶提供生活照顾），则不构成违法。
   • 法律建议：母亲应与奶奶保持密切沟通，共同关注孩子的成长和发展，确保孩子得到充分的关爱和照顾。

进一步思考：

• 母亲在将孩子交由奶奶照顾时，应充分考虑孩子的身心健康和成长需求，确保孩子得到充分的关爱和照顾。
• 若母亲因特殊原因无法直接抚养孩子，应积极寻求其他合适的抚养方式（如委托其他亲属抚养、寻求社会福利机构帮助等），并确保孩子得到妥善安置。
• 若母亲与奶奶之间因抚养问题产生纠纷，可寻求法律途径解决，如通过调解、诉讼等方式维护孩子的合法权益。

总结：母亲把孩子丢给奶奶是否犯法，需根据具体情况判断。若母亲有抚养能力却拒绝抚养，可能构成遗弃行为；若因特殊原因暂时无法抚养且得到奶奶同意，或奶奶自愿承担抚养责任且母亲未完全放弃抚养义务，则不构成违法。在任何情况下，母亲都应充分考虑孩子的身心健康和成长需求，确保孩子得到充分的关爱和照顾。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。