员工损害公司名声被辞退，公司通常无需支付经济补偿。以下是对此问题的详细分析：
法律依据：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，当劳动者严重违反用人单位的规章制度时，用人单位有权解除劳动合同。员工损害公司名声，若该行为被公司规章制度明确规定为严重违纪行为，且公司有充分证据证明员工确实实施了损害公司名声的行为，那么公司辞退该员工是合法的，无需支付经济补偿。
辞退条件：
- 公司要辞退因损害公司名声的员工，需满足两个关键条件：一是公司得有清晰合理的规章制度，明确规定损害公司名誉属于严重违纪行为；二是要有充足证据，比如能证明员工实施了损害行为的具体事例，以及该行为造成负面影响的传播范围等。
辞退程序：
- 公司辞退员工时，必须遵循法定程序。应事先将解除理由通知工会，研究工会意见后再处理，并将辞退决定以书面形式通知员工。如果公司未按法定程序操作，随意开除员工，可能面临违法解除劳动合同的法律风险，需支付赔偿金。
特殊情况：
- 如果员工并非故意损害公司名声，而是由于一些非重大过错行为导致公司名誉受损，公司以此为由辞退员工，则可能属于违法解除劳动合同。在这种情况下，公司需要按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
综上所述，员工损害公司名声被辞退是否合法，关键在于员工的行为是否构成严重违纪，以及公司是否有充分证据和遵循法定程序。如果满足这些条件，公司辞退员工无需支付经济补偿。如果不满足，公司可能需要承担违法解除劳动合同的法律后果。因此，公司在处理此类问题时，应谨慎对待，确保合法合规。