单位退休人员不可以继续担任原支部书记职务。以下是对此结论的详细解释：

在《工会法》中有相关规定，虽然该法条直接针对的是工会主席的职务，但其中的原则同样适用于支部书记等类似职务。根据《工会法》第18条，基层工会专职主席、副主席或者委员自任职之日起，其劳动合同期限自动延长，但这一规定并不适用于达到法定退休年龄的退休人员。因为退休人员已经依法享受了养老保险待遇，他们与用人单位之间不再存在劳动关系，而是转为劳务关系。

支部书记作为党组织的重要职务，通常也需要与用人单位存在劳动关系才能担任。由于退休人员已经退休，他们与用人单位的劳动关系已经终止，因此从法律层面上来说，他们不再具备担任支部书记的资格。

综上所述，单位退休人员由于已经依法退休，与用人单位的劳动关系已经终止，因此不可以继续担任原支部书记职务。如果你对此有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。