针对您提出的“狗贩子该哪个部门管”的问题，这主要涉及到对狗贩子行为的监管和执法部门。以下是对此问题的详细解答：
首先，需要明确的是，狗并没有列入《国家畜禽遗传资源目录》，因此不属于畜禽管理范畴。这意味着，农业农村部门虽然负责动物疫病防控、畜禽屠宰环节等，但并不直接负责市场上狗贩子的监管。
那么，哪个部门应该负责呢？
市场监督管理部门：根据《鄂州市农贸市场管理办法》等相关规定，市场监督管理部门负责农贸市场的管理工作，包括对场内经营者的商事登记、食品以及食用农产品质量安全、场内经营野生动物、活畜、活禽行为等进行监督管理。虽然狗不属于畜禽，但狗贩子的经营活动往往涉及市场销售环节，因此市场监督管理部门有责任对其进行监管。
公安部门：如果狗贩子的行为涉嫌违法犯罪，如盗窃、诈骗、非法经营等，那么公安部门也有权介入调查并依法处理。
其他相关部门：根据具体情况，还可能涉及城市管理、卫生健康等部门。例如，如果狗贩子在公共场所进行经营活动，影响了市容市貌或公共卫生，那么城市管理部门可以对其进行处罚；如果狗贩子销售的狗肉存在食品安全问题，那么卫生健康部门也可以介入调查。
综上所述，对于狗贩子的监管和执法工作，需要多个部门共同协作。其中，市场监督管理部门是主要的监管部门之一，负责对其市场经营活动进行监督管理。同时，公安部门和其他相关部门也会根据具体情况参与执法和监管工作。如果您发现了狗贩子的违法行为或线索，可以向当地的市场监督管理部门或公安部门进行举报。