是的，劳动部门在接到投诉后，需要将办理结果书面回复投诉人，这一做法具有明确的法律依据。
法律依据
《劳动保障监察条例》：
- 第九条：明确规定，劳动者认为用人单位侵犯其劳动保障合法权益的，有权向劳动保障行政部门投诉。劳动保障行政部门应当为举报人保密，并对举报属实、为查处重大违反劳动保障法律、法规或者规章的行为提供主要线索和证据的举报人，给予奖励。这一条款保障了劳动者的投诉权利，并暗示了投诉后应有相应的反馈机制。
- 第十条：劳动保障行政部门实施劳动保障监察的职责中，包括“受理对违反劳动保障法律、法规或者规章的行为的举报、投诉”，并依法纠正和查处违反行为。这表明劳动保障行政部门有义务受理投诉，并作出相应处理。
- 虽然《劳动保障监察条例》中未直接规定必须以书面形式回复投诉人，但结合实际操作和法治精神，劳动保障行政部门在处理投诉后，应当以适当形式（通常包括书面形式）将处理结果告知投诉人，以确保投诉人的知情权得到保障。
《中华人民共和国劳动法》及《中华人民共和国劳动合同法》：
- 这两部法律均强调了劳动者权益的保护和用人单位的合规义务，为劳动者提供了广泛的法律保障。虽然它们未直接规定劳动部门必须书面回复投诉人，但确立了劳动者投诉的合法性和劳动部门监督检查的职责，为书面回复制度提供了法律背景和支持。
实际操作
在劳动纠纷处理实践中，劳动保障行政部门在接到投诉后，会进行调查处理，并根据调查结果作出相应的处理决定。这一决定通常会以书面形式（如《劳动保障监察决定书》等）送达给投诉人，以明确告知处理结果和法律依据。
综上所述，劳动部门在接到投诉后，需要将办理结果书面回复投诉人，这一做法不仅符合实际操作流程，也具有明确的法律依据。如果您在投诉过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。