针对您提出的“国有企业员工私自给自己多发工资，部门负责人应当受到什么处罚”这一问题，我将从法律角度为您详细解答。
首先，明确结论：国有企业员工私自给自己多发工资，属于违反财经纪律和职务侵占的行为。部门负责人作为管理者，若对此行为负有责任，可能会受到行政处分、经济处罚，甚至可能构成犯罪，需要承担刑事责任。
接下来，我将从多个角度对此问题进行分析：
行政处分：
- 根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》等相关规定，公职人员（包括国有企业员工）利用职务上的便利，侵吞、窃取、骗取或者以其他手段非法占有公共财物的，应当给予政务处分。部门负责人若对此类行为监管不力或参与其中，将可能受到警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等行政处分。
经济处罚：
- 国有企业员工私自给自己多发工资，实际上是对企业财产的非法侵占。企业有权要求员工退还多发的工资，并可能依据内部规章制度对员工进行经济处罚，如罚款、扣发奖金等。部门负责人若对此负有管理责任，也可能需要承担相应的经济赔偿责任。
刑事责任：
- 如果员工私自给自己多发工资的行为数额较大，且部门负责人对此负有直接责任或参与其中的，可能构成职务侵占罪或其他相关犯罪。根据《中华人民共和国刑法》的规定，职务侵占罪是指公司、企业或者其他单位的人员，利用职务上的便利，将本单位财物非法占为己有，数额较大的行为。一旦构成犯罪，将可能面临有期徒刑、拘役、罚金等刑事处罚。
综上所述，国有企业员工私自给自己多发工资是一种严重的违法行为，部门负责人作为管理者应当对此负责。根据具体情况，部门负责人可能会受到行政处分、经济处罚，甚至可能构成犯罪并承担刑事责任。因此，建议国有企业加强内部管理，完善财务制度，确保员工工资的合法合规发放。同时，对于发现的违法行为，应及时向相关部门举报并积极配合调查处理。